21
za, dec

Tools

Inhoudsopgave

Pagina 18 van 22

- DEEL 4 -

ORDE UIT CHAOS

16. Kwantiteit en kwaliteit in de wiskunde

“Het feit dat ons subjectieve denken en de objectieve wereld onderworpen zijn aan dezelfde wetten, en vandaar ook dat ze in laatste instantie elkaar niet kunnen tegenspreken in hun resultaten, maar moeten overeenstemmen, regeert op absolute wijze heel ons theoretisch denken.” (Friedrich Engels)

De inhoud van de ‘zuivere’ wiskunde is uiteindelijk afgeleid uit de materiële wereld. De idee dat de waarheden van de wiskunde een speciale soort kennis zijn, aangeboren of van een goddelijke inspiratie, heeft geen ernstige basis. Wiskunde houdt zich bezig met de kwantitatieve verhoudingen van de reële wereld. Haar zogenaamde axioma’s lijken alleen maar vanzelfsprekend omdat ze het resultaat zijn van een lange periode van waarneming en ervaring van de werkelijkheid. Helaas schijnt dit feit vele hedendaagse theoretische wiskundigen te ontgaan, die zichzelf wijsmaken dat hun ‘zuiver’ onderwerp geen uitstaans heeft met de ruwe wereld van materiële zaken. Dit is een duidelijk voorbeeld van de negatieve gevolgen van het tot het uiterste doordrijven van de arbeidsdeling, in dit geval binnen de wetenschap.

Sinds Pythagoras zijn de meest extravagante beweringen gemaakt over de wiskunde, die wordt voorgesteld als de koningin der wetenschappen, de magische sleutel die alle deuren van het universum opent. Losgeslagen van alle contact met de fysische wereld scheen de wiskunde op te stijgen tot in de hemelen, waar ze een goddelijk bestaan verwierf en geen gehoorzaamheid verschuldigd was aan andere regels dan haar eigen. Op die manier kon de grote wiskundige Henri Poincaré in de beginjaren van deze eeuw beweren dat de wetten van de wetenschap helemaal niet in verband staan met de reële wereld, maar willekeurige afspraken vertegenwoordigen die tot doel hebben om fenomenen op een meer geschikte en ‘nuttige’ manier te beschrijven. Bepaalde theoretische fysici zeggen nu openlijk dat de geldigheid van hun wiskundige modellen niet afhankelijk is van empirische verificatie, maar van de esthetische kwaliteiten van hun vergelijkingen.

De theorieën van de wiskunde zijn enerzijds de bron geweest van een geweldige wetenschappelijke vooruitgang, maar anderzijds ook de oorzaak van vele fouten en misvattingen die diepgaande negatieve gevolgen hebben gehad en nog steeds hebben. De belangrijkste fout bestaat erin te proberen de complexe, dynamische en tegenstrijdige werking van de natuur te reduceren tot statische, kwantitatief geordende formules. De natuur wordt op een formalistische manier voorgesteld. Het idee echter dat zuivere wiskunde de absolute waarheid is, onbezoedeld door contacten met materiële zaken, is verre van waar. We gebruiken het decimale stelsel niet door logische deductie of uit ‘vrije wil’ maar omdat we tien vingers hebben. Het woord ‘digitaal’ stamt uit het Latijnse woord voor vingers. En tot op vandaag zal een scholier onder zijn lessenaar stiekem op zijn materiële vingers tellen alvorens voor de dag te komen met het antwoord op een abstract wiskundig probleem. Hierbij keert het kind onbewust terug naar de manier waarop de vroege mensen leren tellen hebben.

De materiële oorsprong van de abstracties van de wiskunde waren voor Aristoteles geen geheim: “De wiskundige”, schreef hij, “onderzoekt abstracties. Hij elimineert alle tastbare kwaliteiten zoals gewicht, dichtheid, temperatuur enzovoort en houdt enkel het kwantitatieve en continue (in één, twee of drie dimensies) en de essentiële bestanddelen ervan over.” Elders zegt hij: “Wiskundige voorwerpen kunnen niet bestaan in afzondering van voelbare (d.i. materiële) zaken.” En verder: “We hebben geen ervaring met iets dat bestaat uit rechten of vlakken of punten, zoals we zouden moeten hebben indien deze zaken materiële stoffen zouden zijn. Rechten enzovoort kunnen in definitie het lichaam voorafgaan, maar om die reden gaan ze het lichaam nog niet inhoudelijk vooraf”.[227]

De ontwikkeling van de wiskunde is het resultaat van zeer materiële menselijke noden. De vroege mens had aanvankelijk slechts geluiden voor tien cijfers, net omdat hij net als een klein kind telde op zijn vingers. De uitzondering hierop waren de Maya’s in Centraal-Amerika, die een numeriek systeem hadden dat gebaseerd was op twintig in plaats van tien, waarschijnlijk omdat ze naast hun vingers ook hun tenen telden. Onze voorouders leefden in een samenleving van jagen en verzamelen, zonder geld of privé-eigendom, en hadden dan ook geen nood aan grote getallen. Om een getal uit te drukken dat groter was dan tien, combineerden ze gewoon sommige van de klanken die betrekking hadden op hun vingers. Zodoende wordt één meer dan tien uitgedrukt door ‘één-tien’ (undecim in het Latijn, of ein-lifon – ‘één meer’ – in het oud-Germaans, wat elf wordt in het moderne Nederlands). Alle andere getallen zijn slechts combinaties van de oorspronkelijke klanken van één tot tien, met de uitzondering van vijf toevoegingen: honderd, duizend, miljoen, miljard en triljoen.

De werkelijke oorsprong van de getallen werd reeds begrepen door Thomas Hobbes, de grote Engelse materialistische filosoof uit de 17e eeuw: “En het schijnt dat er een tijd was waarin deze namen van getallen niet in gebruik waren; en dat de mens zich rekenschap gaf om zijn vingers te gebruiken van één of beide handen voor de zaken die hij in telling wilde brengen, en dat het van daaruit verderging, zodat onze numerieke woorden vandaag niet verder gaan dan tien, in elke natie, en in sommige maar tot vijf, van waaruit ze vervolgens opnieuw beginnen”.[228]

Alfred Hooper legt uit: “Alleen maar omdat de primitieve mens hetzelfde aantal getalgeluiden uitvond als hij vingers had, is onze numerieke schaal vandaag decimaal, dus een schaal gebaseerd op tien en bestaande uit eindeloze herhalingen van de eerste tien basisgeluiden van de getallen (...) Indien de mens twaalf vingers zou hebben gehad in plaats van tien, zouden we vandaag ongetwijfeld een twaalftallig stelsel hebben”.[229] In feite heeft zo een duodecimaal stelsel bepaalde voordelen in vergelijking met het decimale. Terwijl tien slechts deelbaar is door twee en vijf, is twaalf deelbaar door twee, drie, vier en zes.

De Romeinse cijfers zijn grafische voorstellingen van de vingers. Het symbool voor vijf vertegenwoordigde waarschijnlijk de ruimte tussen de duim en de vingers. Het woord calculus betekent ‘kei’ in het Latijn, wat verband houdt met het tellen van stenen kralen in een telraam. Deze en talloze andere voorbeelden illustreren hoe de wiskunde niet ontstond vanuit de vrije werking van de menselijke geest, maar het product is van een langdurig proces van sociale evolutie, gissen en missen, observatie en experiment, dat geleidelijk aan wordt afgezonderd als een bron van kennis met een op het eerste gezicht abstract karakter. Op dezelfde wijze werden onze huidige stelsels van maten en gewichten afgeleid van materiële voorwerpen. De oorsprong van de Engelse meeteenheid, de voet, spreekt voor zich, net zoals het Spaanse woord voor een inch, ‘pulgada’, dat duim betekent. De oorsprong van de meest elementaire wiskundige symbolen + en – heeft niets te maken met wiskunde. Het waren tekens die in de Middeleeuwen werden gebruikt door kooplieden om overschotten of tekorten te berekenen van hoeveelheden goederen in magazijnen.

De noodzaak om huizen te bouwen om zich te beschermen tegen de natuurelementen dwong de vroege mensen ertoe een praktische manier te vinden om hout te snijden zodat de uiteinden dicht bijeen aansloten. Dit betekende de uitvinding van de rechte hoek en de winkelhaak van de timmerman. De noodzaak om een huis te bouwen op een vlakke grond gaf aanleiding tot het uitvinden van het soort nivellerend instrument dat wordt afgebeeld in Egyptische en Romeinse graven. Dit bestond uit drie stukken hout die waren samengebracht in een gelijkbenige driehoek, met een koord gebonden aan de top. Dergelijke eenvoudige instrumenten werden gebruikt bij de bouw van de piramiden. De Egyptische priesters stapelden een grote hoeveelheid wiskundige kennis op die uiteindelijk afgeleid was van praktische activiteiten. Zelfs de beroemde stelling van Pythagoras die elke scholier kent, namelijk dat in een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde, werd in de praktijk reeds uitgewerkt door de Egyptenaren.

Het woord ‘geometrie’ (meetkunde) zelf verraadt zijn praktische oorsprong. Het betekent gewoonweg ‘aardemeting’. De verdienste van de Grieken bestond erin een afgewerkte theoretische uitdrukking te geven aan deze ontdekkingen. Maar door hun theorema’s voor te stellen als het zuivere product van logische deductie, misleidden ze zichzelf en latere generaties. Uiteindelijk wordt wiskunde afgeleid van de materiële realiteit en zou ze inderdaad geen praktische toepassing hebben indien dit niet het geval was geweest.

Tegenstellingen in de wiskunde

Engels, en voor hem Hegel, wezen op de vele tegenstellingen in de wiskunde. Dit is altijd het geval geweest, ondanks alle beweringen van perfectie en bijna pauselijke onfeilbaarheid die wiskundigen over hun ‘sublieme wetenschap’ maken. Deze trend werd opgestart door de pythagoreërs, met hun mystiek concept van het Getal en de harmonie van het universum. Ze kwamen er echter al heel snel achter dat hun harmonieus en geordend wiskundige universum geplaagd werd door tegenstellingen, waarvan de oplossing hen tot wanhoop dreef. Ze kwamen bijvoorbeeld tot de vaststelling dat het onmogelijk was om de omtrek en de diameter van een cirkel uit te drukken in hun getallen.

De latere pythagoreërs ontdekten dat er veel getallen waren, zoals de vierkantswortel van twee, die niet in cijfers konden worden uitgedrukt. Het is een ‘irrationaal getal’. Maar hoewel de vierkantswortel van twee niet uitgedrukt kan worden als een decimaal getal, is hij nuttig voor het vinden van de lengte van de zijde van een driehoek. De hedendaagse wiskunde bevat een ware menagerie van vergelijkbare vreemde beesten, die nuttige diensten bewijzen zodra ze aanvaard worden voor wat ze zijn. Zodoende krijgen we irrationale getallen, imaginaire getallen, transcendente getallen, oneindige getallen, die allemaal vreemde en tegenstrijdige kenmerken vertonen en allemaal onontbeerlijk zijn voor de werking van de moderne wetenschap.

Het mysterieuze π (pi) was de Grieken welbekend en hele generaties scholieren hebben geleerd dat dit de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel is. Maar vreemd genoeg kan zijn exacte waarde niet gevonden worden. Archimedes berekende zijn waarde bij benadering door een methode die bekend staat als ‘uitputting’. Het lag tussen 3,14085 en 3,14286. Maar indien we proberen de exacte waarde te noteren, krijgen we een vreemd resultaat: π = 3,14159265358979323846264338327950... en de rij decimalen herhaalt zich zonder patroon tot in het oneindige. Pi is een transcendent getal en is noodzakelijk om de omtrek van een cirkel te vinden, maar kan niet worden uitgedrukt als de oplossing van een algebraïsche vergelijking. We hebben ook de vierkantswortel van min één, wat totaal geen rekenkundig getal is. Wiskundigen noemen het een ‘imaginair getal’, aangezien geen enkel reëel getal, wanneer we het met zichzelf vermenigvuldigen, min één als resultaat kan geven, aangezien twee maal min een plus geeft. Op zijn minst een merkwaardig schepsel, maar toch geen verzinsel van de verbeelding, ondanks zijn benaming. In Anti-Dühring stelt Engels het volgende:

“Het is een tegenstrijdigheid dat een negatieve grootheid het kwadraat van iets zou zijn, want iedere negatieve grootheid met zichzelf vermenigvuldigd, geeft een positief kwadraat. De vierkantswortel uit -1 is bijgevolg niet slechts een tegenstrijdigheid, maar zelfs een absurde tegenstrijdigheid, een werkelijke ongerijmdheid. En toch is √-1 een in vele gevallen noodzakelijk resultaat van juiste wiskundige bewerkingen; ja, meer dan dat, hoe zou het met de wiskunde staan, met de lagere zowel als de hogere, wanneer het haar werd verboden met √-1 te opereren?”[230] De opmerking van Engels is nog pertinenter vandaag. Deze tegenstrijdige combinatie van plus en min speelt een absoluut cruciale rol in de kwantummechanica, waar ze opdoemt in een hele reeks vergelijkingen, die fundamenteel zijn voor de hedendaagse wetenschap.

Dat deze wiskunde schrikwekkende tegenstellingen inhoudt, lijdt geen twijfel. Dit is wat Hoffman erover te vertellen heeft: “Dat een dergelijke formule enig verband zou hebben met die wereld van het strikte experiment, de wereld van de fysica, is op zich moeilijk te geloven. Dat het de diepe fundering zou zijn van de moderne fysica en dat het eigenlijk diepgaander zou doordringen tot het hart van de wetenschap en metafysica dan om het even wat voorheen, is even ongelooflijk als eens de doctrine moet hebben geschenen dat de aarde rond is”.[231]

Vandaag wordt het gebruik van de zogenaamde ‘imaginaire getallen’ als iets vanzelfsprekends beschouwd. De vierkantswortel van min één wordt gebruikt bij een hele reeks praktische toepassingen, zoals bij de constructie van elektrische circuits. Oneindige grootheden zijn nodig om de aard van tijd en ruimte te begrijpen. Paul Dirac, een van de grondleggers van de kwantummechanica, ontdekte de ‘quaternionen’, die de wetten van de gewone wiskunde overtreden door te stellen dat het product van a en b niet hetzelfde is als het product van b en a. De moderne wetenschap en de kwantummechanica in het bijzonder zouden niet kunnen functioneren zonder het gebruik van dergelijke wiskundige begrippen met een tegenstrijdig karakter.

Bestaat het oneindige?

De idee van het oneindige schijnt moeilijk te vatten, omdat ze op eerste gezicht buiten elke menselijke ervaring ligt. De menselijke geest is gewend zich bezig te houden met eindige dingen, die weerspiegeld worden in eindige ideeën. Alles heeft een begin en een einde. Dit is een vertrouwde gedachte. Maar wat vertrouwd is, is niet noodzakelijk juist. De geschiedenis van het wiskundige denken heeft op dit vlak enkele zeer leerrijke lessen te bieden. Gedurende een lange tijd probeerden de wiskundigen, in Europa althans, het begrip oneindigheid te verbannen. De reden hiervoor ligt nogal voor de hand. Naast de evidente moeilijkheid om zich oneindigheid voor te stellen, houdt het in zuiver wiskundige termen een tegenstelling in. De wiskunde behandelt eindige grootheden. Oneindigheid kan door zijn aard niet geteld of gemeten worden. Dat betekent dat er een reëel conflict bestaat tussen beide. Daarom vermeden de grote wiskundigen van het oude Griekenland oneindigheid. Niettemin speculeerde de mens van bij het begin van de filosofie over oneindigheid. Anaximander (610-547 v. Chr.) gebruikte het als basis voor zijn filosofie.

De paradoxen van Zeno (ca. 450 v. Chr.) wijzen op de moeilijkheid in de idee van oneindig kleine hoeveelheden als een bestanddeel van doorlopende grootheden door te proberen bewijzen dat beweging een illusie is. Zeno ‘bewees’ op verschillende manieren dat beweging niet bestond. Hij stelde dat vooraleer een voorwerp in beweging een zeker punt heeft bereikt, het eerst de helft van de afstand moet hebben afgelegd. Maar daarvoor moet het de helft van de helft hebben afgelegd, enzovoort tot in het oneindige. Wanneer twee voorwerpen zich in dezelfde richting bewegen en het ene, dat een welbepaalde afstand achterop ligt ten opzichte van het andere, sneller gaat, dan veronderstellen we dat dit het andere zal voorbijsteken. Niet waar, zegt Zeno. “Het tragere kan nooit worden voorbijgestoken door het snellere.” Dit is de beroemde paradox van Achilles en de schildpad. Stel je een wedstrijd voor tussen Achilles en een schildpad en veronderstel dat Achilles tien keer sneller kan lopen dan de schildpad, die een voorsprong heeft van 1.000 meter. Tegen dat Achilles 1.000 meter heeft afgelegd, zal de schildpad 100 meter voorop liggen; wanneer Achilles deze 100 meter ook heeft afgelegd, zal de schildpad een meter voorop liggen; indien deze afstand is afgelegd, zal de schildpad 10 centimeter voorop liggen, enzovoort tot in het oneindige.

De paradoxen van Zeno bewijzen niet dat beweging een illusie is, of dat Achilles in de praktijk de schildpad niet zal voorbijsteken, maar ze brengen wel op een schitterende wijze de beperkingen aan het licht van het soort van denken dat bekend staat als formele logica. De poging om alle tegenstellingen te bannen uit de realiteit, zoals de Eleaten deden, leidt onvermijdelijk tot dit soort van onoplosbare paradox, of antinomie zoals Kant het later noemde.

Er is hier inderdaad een logisch probleem. Alfred Hooper legt uit: “Deze paradox verbaast nog steeds zelfs diegenen die weten dat het mogelijk is om de som te vinden van een oneindige reeks getallen die een meetkundige reeks vormen, waarvan de onderlinge verhouding kleiner is dan 1, die aldus convergeert naar een eindige waarde”.[232] In feite had Zeno een tegenstelling blootgelegd in het wiskundige denken die 2.000 jaar zou moeten wachten op een oplossing. De tegenstelling houdt verband met het gebruik van het oneindige. Vanaf Pythagoras tot de ontdekking van de differentiaal-en integraalrekening in de 17e eeuw, gingen wiskundigen tot het uiterste om het gebruik van het begrip oneindigheid te vermijden. Enkel het grote genie Archimedes (287-212 v. Chr.), de grootste onder de Griekse wiskundigen, benaderde het onderwerp, maar ging het toch ook uit de weg door een methode te gebruiken die het probleem omzeilde. De vroege atomisten, te beginnen met Leukippus, die een leerling geweest zou kunnen zijn van Zeno, stelden dat de atomen “zich onverdeelbaar en oneindig in aantal voortdurend voortbewegen in de lege ruimte, die oneindig is qua grootte.”

Moderne fysici aanvaarden dat het aantal ogenblikken tussen twee seconden oneindig is, net als het aantal ogenblikken in een tijdspanne zonder einde of begin. Het heelal zelf bestaat uit een oneindige ketting van oorzaak en gevolg, onophoudelijke verandering, beweging en ontwikkeling. Archimedes maakte effectief gebruik van ondeelbaarheden in de meetkunde, maar beschouwde de idee van oneindig groot en oneindig klein als iets wat geen logische grondslag had. Op dezelfde manier stelde Archimedes dat aangezien een lichaam een vorm moet hebben, het begrensd moet zijn en daarom niet oneindig kan zijn. Hoewel hij aanvaardde dat er twee soorten van ‘potentiële’ oneindigheden waren – opeenvolgende toevoegingen in de rekenkunde (oneindig groot) en opeenvolgende verdeling in de meetkunde (oneindig klein) – leverde hij niettemin een polemiek tegen meetkundigen die beweerden dat een rechte bestaat uit een oneindig aantal vaste oneindig kleine of ondeelbare punten.

Deze ontkenning van het oneindige was een reële belemmering voor de ontwikkeling van de klassieke Griekse wiskunde. De Indische wiskunde daarentegen had geen dergelijke scrupules en boekte dan ook een grote vooruitgang, die later via de Arabieren Europa binnenkwam. De poging om in overeenstemming met de rigide schema’s van de formele logica tegenstellingen uit het denken te bannen, hield de ontwikkeling van de wiskunde tegen. Maar de avontuurlijke geest van de Renaissance stelde de geest van de mens open voor nieuwe mogelijkheden die werkelijk oneindig waren. In zijn boek Two New Sciences (1638) stelde Galileo dat elk natuurlijk getal (positief geheel getal) slechts één volkomen kwadraat heeft en elk natuurlijk getal de vierkantswortel is van slechts één volkomen kwadraat. Bijgevolg zijn er evenveel volkomen kwadraten als er natuurlijke getallen zijn. Dit leidt ons direct naar een logische contradictie. Het spreekt het axioma tegen dat het geheel groter is dan eender welk van haar delen. Niet alle natuurlijke getallen zijn immers volkomen kwadraten en alle volkomen kwadraten zijn dus een deel van alle natuurlijke getallen.

Dit is slechts een van de vele paradoxen die de wiskunde geplaagd hebben sinds de Renaissance, toen de mens zijn gedachten en veronderstellingen begon te onderwerpen aan een kritische analyse. Als gevolg daarvan werden geleidelijk aan en tegen de koppige weerstand van conservatieve geesten in, de zogezegde ontastbare axioma’s en ‘eeuwige waarheden’ van de wiskunde één voor één omvergeworpen. We komen tot het punt waar getoond wordt dat het volledige bouwwerk onstabiel is en nood heeft aan een grondige reconstructie en meer solide, maar ook soepeler fundamenten, die men reeds is beginnen bouwen en die onvermijdelijk een dialectisch karakter zullen hebben.

Differentiaal-en integraalrekening

Veel van de zogenaamde axioma’s van de klassieke Griekse wiskunde werden reeds ondermijnd door de ontdekking van de differentiaal-en integraalrekening, de grootste doorbraak in de wiskunde sedert de Middeleeuwen. Het is een axioma in de meetkunde dat een rechte en een kromme volledig aan elkaar tegengesteld zijn en dat de twee onderling niet vergelijkbaar zijn, wat wil zeggen dat de ene niet kan worden uitgedrukt in termen van de andere. Maar in de differentiaalrekening worden een rechte en een kromme in laatste instantie als gelijk beschouwd. Zoals Engels opmerkt, werd de basis hiervoor gelegd een lange tijd voor Leibniz en Newton dit hadden uitgewerkt: “De variabele grootheid van Descartes was een keerpunt in de wiskunde. Hiermee deden beweging en vandaar de dialectiek hun intrede in de wiskunde en meteen, uit noodzaak, ook de differentiaal-en integraalrekening, die bovendien onmiddellijk aangevat en grotendeels werd afgerond door Newton en Leibniz, maar niet door hen werd ontdekt”.[233]

De ontdekking van de differentiaal-en integraalrekening (analyse of calculus) opende een hele nieuwe horizon voor de wiskunde en de wetenschap in het algemeen. Zodra de oude taboes en verboden werden opgeheven, waren de wiskundigen vrij om geheel nieuwe gebieden te verkennen. Ze maakten echter op een onkritische manier gebruik van oneindig grote en kleine getallen, zonder daarvan de logische en conceptuele gevolgen in beschouwing te nemen. Het gebruik van oneindig kleine en grote hoeveelheden werd beschouwd als een soort van ‘nuttige fictie’, die om een of andere onbegrijpelijke reden steeds tot het correcte resultaat leidde. In het deel over Kwantiteit in het eerste deel van Wissenschaft der Logik legt Hegel uit dat hoewel de invoering van het wiskundige oneindige nieuwe horizonten opende voor de wiskunde en aanleiding gaf tot belangrijke resultaten, het toch onverklaard bleef omdat het botste met de bestaande tradities en methodes:

“Maar in de methode van het wiskundige oneindige vindt de wiskunde een radicale tegenstelling tot de methode die aan haar eigen is en waarop ze rust als wetenschap. Want de rekenkunde van het oneindige staat procedures toe die de wiskunde, die werkt met eindige grootheden, in feite volledig dient te verwerpen, en tegelijkertijd behandelt ze deze oneindige grootheden als eindige quanta, waarbij ze op de eerste dezelfde methodes probeert toe te passen die geldig zijn voor de laatste”.[234]

Het resultaat was een lange periode van controverse over de geldigheid van de differentiaalrekening. Berkeley verwierp haar als iets dat volledig in tegenstelling stond tot de wetten van de logica. Newton, die in zijn Principia gebruik maakte van de nieuwe methode, voelde zich genoodzaakt dit te verbergen voor het publiek uit vrees voor afkerige reacties. In het begin van de 18e eeuw vond Bernard Fontenelle eindelijk de moed om categoriek te beweren dat aangezien er een oneindig aantal natuurlijke getallen bestaan, een oneindig getal net zo goed bestaat als de eindige getallen en dat het omgekeerde van oneindigheid oneindig klein is. Hij werd hierin echter tegengesproken door Georges de Buffon, die het oneindige verwierp als een illusie. Zelfs het grote intellect van D’Alembert (1717-83) was niet in staat dit idee te aanvaarden. In het artikel in zijn Encyclopaedia over de differentiaal ontkende hij het bestaan van het oneindige, met uitzondering in de negatieve zin van een begrenzing van eindige grootheden.

Het begrip ‘limiet’ werd in feite ingevoerd in een poging om de tegenstelling te omzeilen die inherent is aan oneindigheid. Dit was vooral populair in de 19e eeuw, toen wiskundigen niet langer bereid waren de differentiaalrekening zomaar te aanvaarden, iets waarmee de voorgaande generatie zich wel tevreden had gesteld. Door het invoeren van het begrip ‘limiet’ creëerden ze de schijn dat er eigenlijk geen sprake was van een echte oneindigheid. De bedoeling was het idee van oneindigheid subjectief te laten lijken, om het objectief te ontkennen. Van de variabelen werd gezegd dat ze potentieel oneindig klein zijn, in de zin dat ze kleiner gekozen kunnen worden dan om het even welke gegeven waarde; potentieel oneindig in de zin dat ze groter gekozen kunnen worden dan eender welke vooropgestelde grootheid. Met andere woorden: net zo klein of groot als je maar wil. Deze kunstgreep nam de moeilijkheid niet weg, maar bood een vijgenblad om de logische tegenstellingen te verbergen die eigen zijn aan de differentiaalrekening.

De grote Duitse wiskundige Karl Frederick Gauss (1777-1855) was bereid het wiskundige oneindige te aanvaarden, maar was verafschuwd van het idee van reële oneindigheid. Zijn tijdsgenoot Bernhard Bolzano (1781-1848) daarentegen vertrok van de paradox van Galileo en ondernam een ernstige studie van de paradoxen die eigen zijn aan de idee van een ‘voltooide oneindigheid’. Dit werk werd verder ontwikkeld door Richard Dedekind (1813-1914), die het oneindige als iets positiefs beschouwde en uitlegde dat de positieve verzameling getallen in feite beschouwd kan worden als negatief (dat betekent een die niet oneindig is). Uiteindelijk ging Georg Cantor (1845-1918) veel verder dan de definitie van oneindige verzamelingen en ontwikkelde hij een volledig nieuwe rekenkunde van ‘oneindige getallen’. De geschriften van Cantor, beginnend in 1870, zijn een overzicht van de hele geschiedenis van het oneindige, te beginnen met Democritus. Hieruit ontwikkelde zich een hele nieuwe tak van de wiskunde, gebaseerd op de verzamelingenleer.

Cantor toonde aan dat men de punten in een schijf, hoe groot ook, of in een volume of samenhangend geheel van nog veel hogere dimensie, kan laten overeenstemmen met de punten op een rechte of een segment, hoe klein ook. Net zoals er geen laatste eindig getal bestaat, is er ook geen laatste oneindig getal. Volgens Cantor neemt het oneindige een centrale plaats in binnen de wiskunde. Bovendien bracht zijn werk een reeks paradoxen aan het licht die de moderne wiskunde geplaagd hebben en nog steeds opgelost dienen te worden.

Veel wetenschappelijke analyses steunen op het begrip continuïteit, wat inhoudt dat er tussen twee punten in de ruimte een ononderbroken lijn is met een oneindig aantal punten zijn en ook dat er tussen twee tijdstippen een oneindig aantal ogenblikken zijn. Zonder deze veronderstellingen te maken zou de moderne wiskunde eenvoudigweg niet kunnen functioneren. Toch zouden vroegere generaties dergelijke tegenstrijdige concepten verontwaardigd verworpen of op zijn minst op wantrouwen onthaald hebben. Enkel het dialectische genie van Hegel (die overigens een groot wiskundige was) was in staat dit alles te anticiperen in zijn analyse van eindigheid en oneindigheid, ruimte, tijd en beweging.

Ondanks alle bewijzen blijven vele moderne wiskundigen toch halsstarrig de objectiviteit van oneindigheid ontkennen, hoewel ze die wel aanvaarden als ze betrekking heeft op de ‘zuivere’ wiskunde. Een dergelijk onderscheid heeft echter helemaal geen zin. Wat zou het nut anders zijn van de wiskunde indien ze niet in staat zou zijn de reële, objectieve wereld te weerspiegelen? Er bestaat een zekere tendens in de moderne wiskunde (en in het verlengde hiervan ongelooflijk genoeg ook in de theoretische fysica) om terug te vallen op het idealisme in zijn meest mystieke vorm, waarbij beweerd wordt dat de waarde van een vergelijking een loutere kwestie is van esthetische waarde, zonder enige referentie naar de materiële wereld.

Het feit alleen al dat wiskundige bewerkingen kunnen worden toegepast op de reële wereld en betekenisvolle resultaten opleveren, toont aan dat er tussen beide een verwantschap bestaat. Anders zou de wiskunde geen praktische toepassingen hebben, wat duidelijk niet het geval is. De reden waarom oneindigheid gebruikt kan worden is omdat ze overeenkomt met het bestaan van oneindigheid in de natuur zelf, die zichzelf heeft opgelegd aan de wiskunde ondanks alle pogingen om de deuren ervoor te vergrendelen.

De reden waarom het zo lang duurde vooraleer de wiskunde oneindigheid aanvaardde, werd zeer goed uitgelegd door Engels: “De hele dwaling zou onmogelijk zijn zonder de wiskundige gewoonte met oneindige reeksen te werken. Omdat men in de wiskunde van bepaaldheden, van eindige grootheden moet uitgaan, om tot onbepaaldheden, tot oneindige grootheden te komen, moeten alle wiskundige reeksen, positieve of negatieve, met een eerste term aanvangen, anders kan men er niet mee rekenen. Dat de wiskundige voor zijn geestelijke arbeid dit nodig heeft, betekent volstrekt niet dat het een dwingende wet voor de werkelijke wereld zou moeten zijn”.[235]

Crisis in de wiskunde

Op de schoolbanken hebben we geleerd de wiskunde, met haar vaststaande waarheden, ‘axioma’s’ en haar strenge logische afleidingen, te zien als het laatste woord in wetenschappelijke correctheid. In 1900 scheen dit alles vast te staan, hoewel David Hilbert op het Internationaal Congres van Wiskundigen, gehouden in datzelfde jaar, een lijst bekendmaakte van de 23 belangrijkste onopgeloste wiskundige problemen. Vanaf dat moment zijn de zaken geleidelijk aan ingewikkelder geworden, tot op het punt waar het mogelijk is om van een echte crisis in de theoretische wiskunde te spreken. In zijn veelgelezen boek Mathematics: The Loss of Certainty (1980) beschrijft Morris Kline de situatie als volgt:

“De scheppingen van de vroege 19e eeuw, vreemde meetkundes en vreemde algebra’s, dwongen wiskundigen om, onwillig en met tegenzin, te beseffen dat de wiskunde zelf en de wiskundige wetten van de wetenschap geen waarheden waren. Zij ondervonden bijvoorbeeld dat verschillende en tegenstrijdige meetkundes de ruimte even goed beschreven. Het konden niet allemaal waarheden zijn. Blijkbaar was het wiskundige ontwerp niet inherent aan de natuur, of indien het dit wel was, dan was de menselijke wiskunde niet noodzakelijk de beschrijving van dat ontwerp. De sleutel tot de realiteit was verloren gegaan. Deze vaststelling was het eerste onheil dat de wiskunde overviel.”

“Het ontwerpen van deze nieuwe meetkundes en algebra’s liet wiskundigen een schok van een andere aard ervaren. Het had hen zodanig verrukt dat de wiskunde hen tot waarheden leidde dat ze zich onstuimig haastten om deze ogenschijnlijke waarheden te beveiligen ten koste van gezond redeneren. De ontdekking dat wiskunde geen geheel van waarheden was, beschadigde hun vertrouwen in wat zij hadden gemaakt, en ze namen zich voor om hun ontdekkingen opnieuw te onderzoeken. Tot hun ontzetting ondervonden ze dat de logica van de wiskunde zich in een slechte staat bevond.”

Bij het begin van de 20e eeuw begonnen ze aan de taak om de onopgeloste problemen te bezweren, de tegenstellingen op te heffen en een nieuw waterdicht wiskundig systeem op te bouwen. Kline verwoordt het zo:

“Tegen 1900 geloofden de wiskundigen dat ze hun doel bereikt hadden. Hoewel ze zich tevreden moesten stellen met de wiskunde als een passende beschrijving van de natuur en velen zelfs het geloof in het wiskundige ontwerp van de natuur hadden verlaten, verkneukelden ze zich in hun reconstructie van de logische structuur van de wiskunde. Maar nog vóór ze gedaan hadden met klinken op hun veronderstelde succes, werden contradicties ontdekt in de gereconstrueerde wiskunde. Gewoonlijk werd naar deze contradicties verwezen als paradoxen, een eufemisme dat vermijdt te aanvaarden dat contradicties de logica van de wiskunde schenden.”

De poging om de contradicties uit de wiskunde te elimineren, leidde enkel tot nieuwe en onoplosbare contradicties. De doodsteek werd toegebracht in 1930, toen Kurt Gödel zijn bekende theorema’s publiceerde, die een crisis veroorzaakten en zelfs de fundamentele methodes van de klassieke wiskunde in vraag stelden:

“Tot 1930 zou een wiskundige misschien tevreden zijn geweest met het aanvaarden van een of andere van de verscheidene grondslagen van de wiskunde, en zou hij verklaren dat zijn wiskundige bewijzen tenminste in overeenstemming waren met de leerstellingen van die school. Maar het ongeluk sloeg weer toe in de vorm van een beroemd opstel van Kurt Gödel, waarin hij naast andere belangrijke en verontrustende resultaten bewees dat geen enkele van de logische principes aanvaard door de verscheidene scholen, de samenhangendheid van de wiskunde kon bewijzen. Gödel toonde aan dat dit niet gedaan kon worden zonder logische principes te gebruiken die zo dubieus waren dat het eindresultaat in vraag kon worden gesteld. Gödels stellingen leidden tot een debacle. Opeenvolgende ontwikkelingen brachten verdere complicaties met zich mee. Zelfs de axiomatisch-deductieve methode bijvoorbeeld, in het verleden zo veelvuldig beschouwd als de beste benadering tot exacte kennis, scheen gebreken te vertonen. Het netto-effect van deze nieuwere ontwikkelingen was een uitbreiding van de veelheid aan mogelijke benaderingen en het verdelen van wiskundigen in een groter aantal conflicterende fracties”.[236]

De impasse van de wiskunde heeft een aantal verschillende fracties en scholen voortgebracht, met geen enkele stroming die de theorie van de andere aanvaardt. Er zijn de platonisten (inderdaad), die wiskunde als een absolute waarheid beschouwen (“God is een wiskundige”). Je hebt de conceptualisten, van wie de wiskundige opvattingen totaal verschillen van de platonisten, maar het verschil is enkel dat tussen objectief en subjectief idealisme. Zij zien wiskunde als een geheel van structuren, patronen en symmetrieën die mensen voor hun eigen doelstellingen hebben uitgevonden. Met andere woorden, wiskunde heeft geen objectieve basis en is het enkel het product van de menselijke geest! Deze theorie is duidelijk populair.

Dan hebben we de formalistische school, ontstaan in het begin van de 20e eeuw, met de specifieke doelstelling de contradicties uit de wiskunde te elimineren. David Hilbert (1862-1943), een van de stichters van deze school, zag wiskunde als niets meer dan de manipulatie van symbolen volgens specifieke regels om een systeem voort te brengen van tautologische beweringen, die innerlijke consistentie bezitten, maar voor de rest zonder enige betekenis zijn. Hier wordt wiskunde gereduceerd tot een intellectueel spelletje, zoals schaak, wat alweer een geheel subjectieve benadering is. De intuïtionistische school is al even vastberaden de wiskunde te scheiden van de objectieve realiteit. Een wiskundige formule wordt volgens deze mensen verondersteld niets anders te betekenen dan de handeling van de berekening zelf. Dit werd reeds vergeleken met de poging van Bohr om de ontdekkingen van de kwantummechanica te gebruiken om nieuwe inzichten te introduceren over de fysische en wiskundige hoeveelheden, los van de objectieve realiteit.

Wat al deze scholen gemeenschappelijk hebben, is een geheel idealistische benadering van de wiskunde. Het enige verschil is dat de neoplatonisten objectieve idealisten zijn, die denken dat de wiskunde ontsproten is aan de geest van God, en dat de rest – intuïtionisten, formalisten en conceptualisten – gelooft dat de wiskunde een subjectieve creatie is van de menselijke geest is, verstoken van enige objectieve betekenis. Dit is dan het droevige schouwspel dat de hoofdscholen van de wiskunde bieden in het laatste decennium van de 20e eeuw. Maar dit is niet het einde van het verhaal.

Chaos en complexiteit

De ontoereikendheid van wiskundige modellen om de echte werking van de natuur uit te drukken zijn de laatste jaren het onderwerp van intense discussie. Differentiaalvergelijkingen bijvoorbeeld stellen de realiteit voor als een continuüm, waarin veranderingen in tijd en plaats vloeiend en ononderbroken voorkomen. Er is geen plaats voor plotse breuken en kwalitatieve veranderingen. Toch is dit precies wat er gebeurt in de natuur. De ontdekking van de differentiaal-en integraalberekening in de 18e eeuw betekende een grote vooruitgang. Zelfs de meest geavanceerde wiskundige modellen zijn echter slechts een ruwe benadering van de realiteit en zijn slechts geldig binnen bepaalde grenzen. Het recente debat over chaos en anti-chaos concentreerde zich op het gebied van breuken in de continuïteit, plotse ‘chaotische’ veranderingen die ontoereikend uitgedrukt kunnen worden door de klassieke wiskundige formules.

Het verschil tussen orde en chaos heeft te maken met lineaire en niet-lineaire relaties. Een lineaire relatie is er een die gemakkelijk wiskundig te beschrijven is: ze kan in een of andere vorm uitgedrukt worden als een ononderbroken lijn in een grafische voorstelling. De wiskunde mag dan wel complex zijn, de antwoorden kunnen berekend en voorspeld worden. Een niet-lineaire relatie is er echter een die niet altijd beschreven kan worden als een ononderbroken lijn in een grafiek. Niet-lineaire relaties zijn in het verleden moeilijk of onmogelijk op te lossen geweest en werden vaak genegeerd en als een experimentele fout afgedaan. Verwijzend naar het bekende slingerexperiment, schrijft James Gleick dat de regelmatigheid die Galileo zag slechts een benadering was. De veranderende hoek van de beweging van het lichaam doet een kleine niet-lineariteit ontstaan in de vergelijkingen. Bij lage amplitudes is de fout haast onbestaande. Maar ze is er. Om zijn keurige resultaten te verkrijgen moest Galileo niet-lineariteiten veronachtzamen waarvan hij weet had: frictie en luchtweerstand.

Veel van de klassieke mechanica is opgebouwd rond lineaire relaties die afgeleid zijn uit de werkelijkheid als wetenschappelijke wetten. Omdat de werkelijkheid beheerst wordt door niet-lineaire relaties, zijn deze wetten vaak niet meer dan benaderingen die voortdurend verfijnd worden door de ontdekking van ‘nieuwe’ wetten. Deze wetten zijn wiskundige modellen, theoretische constructies die enkel een bestaansreden hebben door het inzicht dat ze geven en hun bruikbaarheid om de natuurkrachten te controleren. In de laatste twintig jaar heeft de computertechnologie de situatie gewijzigd door de niet-lineaire wiskunde toegankelijk te maken. Om deze reden werd het voor wiskundigen en andere wetenschappers in heel wat afzonderlijke faculteiten en onderzoeksinstellingen mogelijk om logische berekeningen uit te voeren in ‘chaotische systemen’, wat vroeger niet mogelijk was.

James Gleicks boek Chaos: De Derde Wetenschappelijke Revolutie (1987) beschrijft hoe chaotische systemen onderzocht werden door verschillende wetenschappers die gebruik maakten van sterk verschillende wiskundige modellen. Toch leiden alle studies tot dezelfde conclusie: er bestaat ‘orde’ in datgene wat voorheen als pure ‘wanorde’ werd bestempeld. Het verhaal begint met de studies van weerpatronen in een computersimulatie door Edward Lorenz (1917-2008), een Amerikaanse meteoroloog. Door gebruik te maken van twaalf en later slechts van drie variabelen in niet-lineair verband, was Lorenz in staat met zijn computer een continue reeks van steeds veranderende condities te produceren, waarbij absoluut nooit dezelfde conditie tweemaal herhaald werd. Aan de hand van relatief eenvoudige wiskundige regels had hij ‘chaos’ gecreëerd.

De computer begon met de parameters die Lorenz zelf gekozen had en herhaalde op mechanische wijze steeds opnieuw dezelfde berekening, maar bereikte toch nooit dezelfde resultaten. Deze ‘aperiodiciteit’ (de afwezigheid van regelmatige cycli) is karakteristiek voor alle chaotische systemen. Tegelijkertijd merkte Lorenz op dat, hoewel zijn resultaten altijd verschillend waren, er op zijn minst aanwijzingen waren dat er ‘patronen’ waren die frequent de kop op staken: toestanden die dicht aanleunden bij voorheen geobserveerde, hoewel ze nooit exact dezelfde waren. Dit stemt natuurlijk overeen met ieders ervaring met de werkelijkheid, in tegenstelling tot het door computers gesimuleerde weer: er zijn ‘patronen’, maar geen twee dagen of twee weken zijn ooit dezelfde.

Ook andere wetenschappers ontdekten ‘patronen’ in ogenschijnlijk chaotische systemen, van de studie van galactische banen tot elektronische oscillatoren. In deze en in andere gevallen, merkt Gleick op, waren er “aanwijzingen van structuur temidden van willekeurige beweging.” Het werd steeds duidelijker dat chaotische systemen niet noodzakelijk onstabiel waren en dat ze voor een onbepaalde periode konden blijven bestaan. De welbekende ‘rode plek’ die te zien is op de oppervlakte van de planeet Jupiter, is een voorbeeld van een doorlopend chaotisch systeem dat stabiel is. Daarenboven werd het gesimuleerd in computeronderzoek en laboratoriummodellen. “Een complex systeem kan dus op hetzelfde moment aanleiding geven tot turbulentie en cohesie.”

Ondertussen hanteerden andere wetenschappers verschillende wiskundige modellen om ogenschijnlijk chaotische fenomenen te bestuderen in de biologie. Eén in het bijzonder maakte een wiskundige studie van bevolkingswijzigingen onder een verscheidenheid aan omstandigheden. Standaardvariabelen waarmee biologen vertrouwd waren, werden gebruikt met enkele van de berekende relaties die, zoals dit in de natuur zou zijn, niet-lineair waren. Een parameter in het model weerspiegelt de neiging van een soort om zich voort te planten. De resultaten werden uitgedrukt door middel van een assenstelsel waarop de bevolkingsgrootte op de verticale as werd uiteengezet tegenover de waarde van de modelparameter op de horizontale as. Men vond dat naarmate de bewuste parameter gradueel verandert, de geprojecteerde populatiegrootte door een aantal vastomlijnde fases ging. Onder een bepaalde drempelwaarde zou er geen levensvatbare populatie zijn en zou uitroeiing het resultaat zijn, ongeacht van welk punt vertrokken werd. Bij hogere waarden voor de parameter evolueert de grootte van de populatie naar een evenwichtstoestand. In de volgende fase waren er twee verschillende populatiegroottes. Dit wordt weergegeven als een vertakking in de grafiek, of een ‘bifurcatie’, wat in werkelijke populaties zou overeenstemmen met een periodieke schommeling in een tweejaarlijkse cyclus. Naarmate de modelparameter opnieuw toenam, steeg het aantal bifurcaties, eerst tot een situatie met vier toestanden (dit betekent een cyclus van vier jaar), en heel vlug erna waren het er 8, 16, 32 enzovoort.

Voor bepaalde waarden van de parameter ontwikkelde er zich een situatie die geen evenwichtstoestand of periodiciteit vertoonde – de populatie was ‘chaotisch’ geworden. Voorbij deze chaotische fase verschenen opnieuw vensters gebaseerd op een cyclus van 3 of 7 jaar, die in het eerste geval plaats maakten voor bifurcaties tot cycli van 6, 12, 24 jaar (etcetera) en in het tweede geval van 14, 28 en 56 jaar. Op die manier was het mogelijk om met wiskundige precisie een verandering te modelleren van stabiliteit met ofwel een enkele limiettoestand ofwel met normaal, periodiek gedrag, naar een toestand die voor alle meetbare doelstellingen willekeurig of aperiodiek was.

Dit kan op een mogelijke oplossing wijzen voor de debatten op het terrein van de bevolkingswetenschappen tussen die theoretici die geloven dat onvoorspelbare bevolkingsvariaties de norm zijn en anderen die geloven dat evenwichtstoestanden de norm zijn. Deze verschillende interpretaties kunnen ontstaan indien de verschillende onderzoekers uit de curve slechts een bepaald deel hebben waargenomen. Op die manier kan één soort de norm van een standvastige of een periodiek schommelende populatie bezitten en kan een andere chaotische variabiliteit vertonen. In een grote verscheidenheid aan verschillende fenomenen begon men soortgelijke resultaten te ontdekken. Deterministische chaos werd gevonden in documenten over mazelenepidemieën in New York en in de tweehonderdjarige fluctuaties van de Canadese lynxpopulatie. Al deze gevallen van chaotische processen vertonen de ‘periodeverdubbeling’ die kenmerkend is voor dit wiskundig model.

De fractals van Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (1924-2010), een andere pionier van de chaostheorie en wiskundige bij IBM, gebuikte nog een andere wiskundige techniek. In zijn hoedanigheid als onderzoeker voor IBM vond hij ‘patronen’ in een grote verscheidenheid aan ‘willekeurige’ natuurlijke processen. Hij vond bijvoorbeeld dat het achtergrondgeluid dat steeds aanwezig is bij telefonische overdrachten een compleet onvoorspelbaar of chaotisch patroon volgt, maar toch wiskundig te omschrijven valt. Met behulp van een computer bij IBM was Mandelbrot in staat chaotische systemen grafisch te tonen, en dit enkel door gebruik te maken van heel eenvoudige wiskundige regels.

De Mandelbrot-reeksen zijn omschreven als mogelijk het meest complexe wiskundige object of model ooit gezien. Toch zijn er binnen haar structuur nog steeds patronen. Door herhaaldelijk de schaal te ‘vergroten’ en door fijnere en fijnere details te bekijken (iets wat de computer een oneindig aantal keer kon uitvoeren omdat de hele structuur gebaseerd was op een gegeven stel wiskundige regels), zag men dat er op verschillende schalen herhalingen – similariteiten – optreden. ‘De graad van onregelmatigheid’ was dezelfde op verschillende schalen. Mandelbrot gebruikte de uitdrukking ‘fractaal’ om de patronen te omschrijven die zichtbaar waren in de onregelmatigheid. Door de wiskundige regels lichtjes aan te passen was hij in staat om een verscheidenheid aan fractaalvormen te construeren. Op die manier was hij in staat om een computersimulatie te maken van een ‘kustlijn’ die op elke schaal (bij elke vergroting) dezelfde graad van onregelmatigheid vertoonde.

Mandelbrot vergeleek zijn door computers opgewekte systemen met voorbeelden van geometrische vormen die ook steeds opnieuw hetzelfde patroon herhaalden op verschillende schalen. In de zogenaamde Menger-spons bijvoorbeeld benadert de manteloppervlakte oneindig, terwijl het eigenlijke volume van het lichaam nul benadert. Hier lijkt het alsof de graad van onregelmatigheid overeenkomt met het ‘doel’ van de spons om zo veel mogelijk in zich op te nemen. Dit is niet zo vergezocht als het lijkt. Zoals Mandelbrot aantoont zijn er immers veel voorbeelden van fractaalmeetkunde in de natuur. De vertakking van de luchtpijp in twee luchtpijpvertakkingen en hun voortdurende vertakking tot op het niveau van de minuscule luchtdoorgangen in de longen volgt een patroon waarvan men kan aantonen dat het fractaal is. Op dezelfde manier kan bewezen worden dat de vertakking van bloedvaten fractaal is. Met andere woorden, er is een ‘zelfgelijkenis’, een herhalend meetkundig vertakkingspatroon op elke schaal die wordt onderzocht.

Het aantal voorbeelden van fractaalmeetkunde in de natuur is eindeloos, zoals Mandelbrot aantoont in zijn boek The Fractal Geometry of Nature (1982). Men ontdekte dat de hartslag fractale wetten volgt, waarschijnlijk door de fractale ordening van zenuwvezels in de hartspier. Hetzelfde kunnen we zeggen over de snelle onvrijwillige oogbewegingen die een kenmerk van schizofrenie zijn. Vandaag wordt de fractaalwiskunde dus dagelijks gebruikt op een verscheidenheid aan wetenschappelijke terreinen, waaronder psychologie en disciplines gaande van de studie van aardbevingen tot metaalbewerking.

Nog een andere aanwijzing voor de deterministische basis van chaos werd aangetoond in studies van fasetransities en door wat men in wiskundige modellen ‘attractoren’ noemt. Er zijn vele voorbeelden van fasetransities. Het kan de verandering inhouden van de gelijkmatige, ‘laminaire’ stroom van een vloeistof in een ‘turbulente’ stroom, de overgang van vast naar vloeibaar of van vloeibare naar gasvormige toestand, of de verandering binnenin een systeem van geleiding in ‘supergeleiding’. Deze fasetransities kunnen cruciale gevolgen hebben in technologische ontwerpen en in constructies. Een vliegtuig zal bijvoorbeeld hoogte verliezen indien de laminaire luchtstroom over de vleugel turbulent wordt. Op dezelfde manier zal de druk die nodig is om water te pompen, afhangen van het feit of de stroom in de pijp al dan niet turbulent is. Het gebruik van faseschaaldiagrammen en attractoren wijst op een ander wiskundig middel dat een wijde verscheidenheid aan toepassingen heeft gevonden in ogenschijnlijk willekeurige systemen. Zoals in andere chaosstudies werden ook hier gemeenschappelijke patronen ontdekt, in dit geval ‘vreemde attractoren’ in een verscheidenheid aan onderzoeksprogramma’s, waaronder elektrische oscillatoren, vloeistofdynamica en zelfs in de verspreiding van sterren in bolvormige clusters.

Al deze uiteenlopende wiskundige middelen – periodeverdubbeling, fractaalmeetkunde, vreemde attractoren – werden op verschillende momenten door verschillende onderzoekers ontworpen om de chaotische dynamica te onderzoeken. Al hun resultaten wijzen echter in dezelfde richting: in wat steeds als willekeurig werd beschouwd, bestaat er een onderliggende wiskundige wetmatigheid.

Door een aantal eindjes aan elkaar te knopen heeft Mitchell Feigenbaum, een wiskundige, naar eigen zeggen een ‘universele chaostheorie’ ontwikkeld. Zoals Gleick verwoordt: “Hij geloofde dat zijn theorie een natuurwet uitdrukte over systemen op het punt van overgang tussen orde en turbulentie (...) zijn universaliteit was niet alleen kwalitatief, zij was kwantitatief (...) zij reikte niet alleen tot patronen maar ook tot precieze getallen.”

Hier zouden marxisten de gelijkenis herkennen met de dialectische wet die bekend staat als de wet van de omzetting van kwantiteit in kwaliteit. Dit idee beschrijft de overgang tussen een periode van min of meer geleidelijke ontwikkeling, wanneer verandering gemeten of ‘gekwantificeerd’ kan worden, en een volgende periode waarin de verandering zodanig ‘revolutionair’ is, dat er zich een sprong heeft voorgedaan waardoor de gehele kwaliteit van het systeem veranderd is. Dat Gleick dezelfde termen in eenzelfde betekenis gebruikt, is een illustratie van de wijze waarop de moderne wetenschappelijke theorie komt in de richting van het dialectisch materialisme.

Het centrale punt in de nieuwe wetenschap is haar omgang met de wereld zoals die echt is: als een dynamisch systeem dat voortdurend verandert. De klassieke lineaire wiskunde is zoals de formele logica die zich bezighoudt met vaste en onveranderlijke categorieën. Deze volstaan als benaderingen, maar weerspiegelen de werkelijkheid niet. De dialectiek is echter de logica van de verandering, van processen, en betekent als zodanig een vooruitgang op het formalisme. De chaoswiskunde is op dezelfde manier een stap voorwaarts ten opzichte van de nogal ‘onrealistische’ wetenschap die de ongemakkelijke onregelmatigheden van het leven negeerde.

Kwantiteit en kwaliteit

De idee van de transformatie van kwantiteit in kwaliteit zit impliciet vervat in de moderne wiskunde in de studie van continuïteit en discontinuïteit. Dit was al aanwezig in de topologie, de nieuwe tak van de meetkunde uitgevonden in de vroege jaren van de 20e eeuw door de grote Franse wiskundige Jules Henri Poincaré (1854-1912). Topologie is de wiskunde van de continuïteit. Ian Stewart licht toe: “Continuïteit is de studie van gelijkmatige, geleidelijke veranderingen, de wetenschap van het ononderbrokene. Discontinuïteiten zijn plots, dramatisch: plaatsen waar een kleine verandering in de oorzaak een enorme verandering in het gevolg voortbrengt”.[237]

De wiskunde uit de standaardhandboeken geeft een verkeerde indruk van hoe de wereld werkelijk is en hoe de natuur echt werkt. Robert May schrijft: “De wiskundige intuïtie die zich op die manier ontwikkelt, rust de student slecht uit om het hoofd te bieden aan het bizarre gedrag dat ook voorkomt in de eenvoudigste niet-lineaire systemen”.[238] Terwijl de meetkunde van de lagere school ons leert vierkanten, cirkels, driehoeken en parallellogrammen als volledig verschillende zaken te beschouwen, worden ze in de topologie (‘rubbermeetkunde’) gelijk behandeld. In de traditionele meetkunde kan een cirkel niet vierkantig gemaakt worden. In de topologie is dit echter wel het geval. De rigide demarcatielijnen worden overboord gegooid: een vierkant kan ‘vervormd’ worden in een cirkel. Ondanks de spectaculaire vooruitgang van de 20e-eeuwse wetenschap is het verrassend om op te merken dat een groot aantal van wat simpele fenomenen lijken, ontoereikend begrepen wordt en niet in wiskundige termen kan worden uitgedrukt, bijvoorbeeld het weer of de stroming van vloeistoffen. De vormen van de klassieke meetkunde zijn niet geschikt om de enorm complexe en onregelmatige oppervlakken in de natuur uit te drukken, zoals Gleick aantoont:

“De topologie bestudeert de eigenschappen die onveranderd blijven wanneer vormen vervormd worden door draaiing, uitrekking of verschuiving. Of een vorm vierkant of rond, groot of klein is, is irrelevant in de topologie, omdat deze eigenschappen kunnen veranderen. Topologen stellen zich de vraag of een vorm samenhangend is, of ze gaten of knopen vertoont. Oppervlakken stellen ze zich niet alleen in de één-, twee-, en driedimensionale universa van Euclides voor, maar in ruimten met vele dimensies die onmogelijk te visualiseren zijn. Topologie is meetkunde op rubberbladen. Het houdt zich veeleer bezig met het kwalitatieve dan met het kwantitatieve”.[239]

Differentiaalvergelijkingen handelen over de snelheid van positieverandering. Dit is moeilijker en complexer dan het op het eerste gezicht lijkt. Heel wat differentiaalvergelijkingen kunnen helemaal niet opgelost worden. Deze vergelijkingen zijn in staat om beweging te omschrijven, maar alleen als een gelijkmatige positieverandering van één punt naar een ander, zonder plotse sprongen of onderbrekingen. In de natuur doet verandering zich echter niet alleen op deze manier voor. Periodes van trage, geleidelijke, ononderbroken verandering worden onderbroken door scherpe veranderingen, breuken in de continuïteit, explosies, catastrofes. Dit kan geïllustreerd worden met ontelbare voorbeelden van organische en anorganische aard, de geschiedenis van de maatschappij en van het menselijke denken. Bij een differentiaalvergelijking veronderstelt men dat de tijd verdeeld is in een aantal zeer kleine ‘tijdstippen’. Dit geeft een benadering van de realiteit, maar in feite bestaan zulke ‘stappen’ niet. Zoals Heraclitus het uitdrukte: “Alles vloeit.”

Het onvermogen van de traditionele wiskunde om zich toe te spitsen op kwalitatieve veranderingen – in tegenstelling tot enkel kwantitatieve – is een ernstige beperking. Binnen bepaalde limieten kan dat volstaan. Wanneer geleidelijke kwantitatieve verandering echter plots afbreekt en ‘chaotisch’ wordt, om de courante uitdrukking te gebruiken, volstaan de lineaire vergelijkingen van de klassieke wiskunde niet meer. Dit is het vertrekpunt voor de nieuwe niet-lineaire wiskunde, waarin Benoit Mandelbrot, Edward Lorenz en Mitchell Feigenbaum de pionierstaak op zich namen. Zonder het te beseffen traden ze in de voetstappen van Hegel, wiens knooplijn van maatverhoudingen precies hetzelfde idee uitdrukt.

De nieuwe houding tegenover wiskunde ontstond als een reactie tegen het doodlopende straatje van de bestaande wiskundige scholen. Mandelbrot is lid geweest van de Franse school van het wiskundig formalisme, bekend als de Bourbaki-groep, die een geheel abstracte aanpak verdedigde en vertrok vanuit grondprincipes en daaruit alles afleidde. Ze waren werkelijk trots op het feit dat hun werk niets te maken had met wetenschap of met de echte wereld. De komst van de computer bracht echter een geheel nieuw element in deze situatie. Dit is alweer een voorbeeld van hoe de ontwikkeling van de techniek die van de wetenschap bepaalt. Het grote aantal berekeningen dat uitgevoerd kon worden, maakte het mogelijk patronen en wetmatigheden te ontdekken waar voorheen enkel willekeurige en chaotische fenomenen schenen te bestaan. Mandelbrot begon met het onderzoek van onverklaarde fenomenen in de natuur, zoals de ogenschijnlijk willekeurige interferentieschokken in radio-uitzendingen, de overstroming van de Nijl en crises op de aandelenmarkt. Hij ondervond dat de traditionele wiskunde zulke fenomenen niet adequaat kon beschrijven.

Bij zijn onderzoek uit de 19e eeuw naar de oneindigheid, vond Georg Cantor de verzameling uit die naar hem genoemd is. Het gaat hier over een lijnstuk dat verdeeld is in een oneindig aantal punten (Cantor-‘stof’) en waarvan de totale lengte nul is. Zo een duidelijke contradictie verwarde vele 19e-eeuwse wiskundigen, maar ze diende als vertrekpunt voor Mandelbrots nieuwe theorie over fractaalwiskunde, die een sleutelrol speelde in de chaostheorie. “Discontinuïteit, vlagen van ruis, Cantor-stof”, legt Gleick uit, “voor fenomenen als deze was er geen plaats in de meetkunde van de voorbije 2.000 jaar. De vormen van de klassieke meetkunde zijn rechten en vlakken, cirkels en bollen, driehoeken en kegels. Ze vertegenwoordigen een krachtige abstractie van de realiteit en ze inspireerden een krachtige filosofie over platonische harmonie. Euclides maakte er een meetkunde van die het twee millennia uithield en voor de meeste mensen nog steeds de enige meetkunde is zij ooit zullen leren. Aristoteles zag er een ideale schoonheid in. Maar om complexiteit te verklaren, blijken ze de verkeerde soort abstractie te zijn”.[240]

Alle wetenschappen houden een graad van abstractie in van de reële wereld. Het probleem van de klassieke euclidische meting van lengte, diepte en dikte, is haar onvermogen om de essentie te vatten van onregelmatige vormen die in de reële wereld te vinden zijn. De wetenschap van de wiskunde is de wetenschap van de grootte. Om deze reden laten de abstracties van de euclidische meetkunde alles behalve het kwantitatieve element van de dingen buiten beschouwing. De realiteit wordt gereduceerd tot vlakken, rechten en punten. Ondanks de overdreven aanspraken die ervoor gemaakt zijn, blijven de abstracties van de wiskunde slechts ruwe benaderingen van de reële wereld met zijn onregelmatige vormen en constante en abrupte veranderingen. In de woorden van de Romeinse dichter Horatius: “Je kunt de natuur verdrijven met een hooivork, toch zal zij steeds terugkeren.”

James Gleick beschrijft het verschil tussen de klassieke wiskunde en de chaostheorie op de volgende manier: “Mandelbrot zegt graag dat wolken geen bollen zijn. Bergen zijn geen kegels. De bliksem verplaatst zich niet in een rechte lijn. De nieuwe meetkunde weerspiegelt een universum dat ruw is en niet rond, oneffen en niet vlak. Het is een meetkunde van het puntige, gemazelde en opgebrokene, het verwrongene, verstrikte en verstrengelde. Het begrip van de complexiteit van de natuur werd slechts mogelijk door een vermoeden dat de complexiteit niet gewoon willekeurig of toevallig was. Men moest er bijvoorbeeld van uitgaan dat de interessante eigenschap van een bliksemstraal niet zijn richting was, maar zijn haakse hoeken. Mandelbrots werk deed een bewering over de wereld, en deze bewering was dat zulke vreemde vormen betekenis hebben. De putten en knopen zijn meer dan bezoedelingen die de klassieke vormen van de euclidische meetkunde vervormen. Ze zijn vaak de sleutel tot het wezen van iets”.[241]

Deze zaken werden door traditionele wiskundigen als afwijkingen aanzien. Voor een dialecticus echter wijzen ze erop dat de eenheid van eindig en oneindig, zoals in de oneindige deelbaarheid van materie, ook in wiskundige termen kan worden uitgedrukt. Oneindigheid komt in de natuur voor. Het universum is oneindig groot. Materie kan verdeeld worden in oneindig kleine deeltjes. Alle praatjes over ‘het begin van het universum’ en de zoektocht naar de ‘bouwstenen van materie’ en het ‘ultieme deeltje’ zijn dus gebaseerd op verkeerde veronderstellingen. Het bestaan van het wiskundige oneindige is hier slechts een weerspiegeling van. Tegelijkertijd is het een dialectische contradictie dat dit oneindige universum bestaat uit eindige lichamen. Eindig en oneindig vormen een dialectische eenheid van tegengestelden. Het ene kan niet bestaan zonder het andere. De vraag is daarom niet of het universum nu eindig of oneindig is. Zoals Hegel reeds lang geleden aantoonde, is het zowel eindig als oneindig.

De vorderingen van de moderne wetenschappen laten ons toe dieper en dieper in de wereld van de materie door te dringen. In elk stadium werd een poging ondernomen om ‘een halt toe te roepen’, om een barrière op te richten waarbuiten het zogezegd onmogelijk was te gaan. In elk stadium werd de grens echter overschreden en werden verbluffende nieuwe fenomenen onthuld. Elke nieuwe en krachtigere deeltjesversneller legde nieuwe en kleinere deeltjes bloot die voorkwamen op steeds kleinere tijdschalen. Er is geen reden om aan te nemen dat de situatie anders zal zijn met betrekking tot quarks, die vandaag voorgesteld worden als de laatste van de deeltjes.

Op dezelfde manier zal de poging om het begin van het universum en van de ‘tijd’ vast te stellen, een nutteloze onderneming blijken. Er is geen grens aan het materiële universum en alle inspanningen om er een op te leggen, zullen onvermijdelijk mislukken. Het meest bemoedigende aan de nieuwe wiskunde van de chaostheorie is dat het een verwerping inhoudt van de steriele abstracties en het elitaire reductionisme en dat het een poging is om terug te gaan naar de natuur en de wereld van de alledaagse waarneming. In de mate dat de wiskunde de natuur weerspiegelt, dient ze haar eenzijdige karakter te verliezen en een geheel nieuwe dimensie te verwerven die het dynamische, tegenstrijdige, in één woord dialectische karakter van de reële wereld uitdrukt.

Voetnoten

[227]Aristotle, Metaphysics, pp. 120, 251 and 253.

[228]T. Hobbes, Leviathan, p. 14.

[229]A. Hooper, Makers of Mathematics, pp. 4-5.

[230]Engels, Anti-Dühring, p. 154.

[231]B. Hoffman, The Strange Story of the Quantum, p. 95.

[232]A. Hooper, Makers of Mathematics, p. 237.

[233]Engels, The Dialectics of Nature, pp. 341-2.

[234]Hegel, The Science of Logic, p. 257.

[235]Engels, Anti-Dühring, p. 63.

[236]Geciteerd in T. Ferris, op. cit., pp. 521-2 and 522-3.

[237]I. Stewart, op. cit., p. 63.

[238]Geciteerd in J. Gleick, op. cit., p. 80.

[239]J. Gleick, op. cit., p. 46.

[240]Ibid., p. 94.

[241]Ibid., p. 94.

Marxisme Boeken Filosofie